Intégrales d’espaces de configurations pour les entrelacs et les enchevêtrements de R^{3}

Sylvain Poirier Mémoire de thèse Novembre 1999

1 Introduction

On appelle entrelacs un “ensemble de ficelles refermées sur elles-mêmes, emmêlées dans l’espace”, ou plus formellement un plongement L d’une certaine variété compacte sans bord M de dimension 1 dans ℝ^{3}.

On appelle invariant d’entrelacs une application I de l’ensemble des entrelacs dans un certain ensemble X, et qui est invariante par isotopie, c’est-à-dire qu’elle reste constante lors de la déformation progressive d’un entrelacs.

L’objet de cette thèse est l’étude d’une expression Z(L), appelée intégrale d’espaces de configurations, qui est “presque” un invariant d’entrelacs. Elle prend ses valeurs dans un espace gradué A(M) = ∏_{n∈ℕ} A_{n}(M), où A_{n}(M) est un espace vectoriel de dimension finie, appelé espace des diagrammes de support M et de degré n, que l’on définira. Il s’agit de l’expression du développement perturbatif de la théorie quantique des champs topologique de Chern-Simons: cette théorie s’applique aux fibrés vectoriels au-dessus de l’espace ℝ^{3}, ou plus généralement au dessus de toute variété de dimension 3, avec comme groupe de jauge (ou groupe structural) n’importe quel groupe de Lie muni d’une forme bilinéaire invariante sur son algèbre de Lie vérifiant une certaine condition d’intégralité.

L’expression de Z(L) que l’on va construire ne dépend pas du groupe structural: sa valeur pour un groupe particulier G s’obtient alors en composant Z par une application linéaire définie sur A(M), et qui ne dépend que de G et du choix d’une représentation linéaire de G pour chaque composante connexe de M. Cette application consiste à “interpréter les diagrammes comme des expressions tensorielles sur l’algèbre de Lie de G”. Ce genre d’opération est omniprésent en théorie quantique des champs; mais la théorie de Chern-Simons a deux particularités, d’une part son expression initiale peut s’appliquer à n’importe quel groupe de jauge et non un seul groupe possible comme c’est le cas habituellement; d’autre part, la convergence des intégrales permet d’interrompre les opérations en cours de route, en ayant un résultat bien défini dans l’espace des diagrammes sans passer par des opérations de renormalisation faisant intervenir le groupe de jauge. Par conséquent, ce résultat contient beaucoup d’informations, au moins toutes celles qui correspondent à des groupes de jauge particuliers.

Enfin, la dernière particularité de cette théorie qui la rend intéressante pour un mathématicien est qu’elle est topologique: c’est-à-dire que dans sa formulation première elle ne fait intervenir que la structure topologique ou différentiable de la variété de dimension 3 de base (qui sera pour nous ℝ^{3}), et pas sa structure affine, riemannienne ou autre. Il serait donc naturel que les expressions qui s’en déduisent soient invariantes par isotopie.

On verra en fait que cet objet est “presque” un invariant d’entrelacs: ses variations en degré > 1 se déduisent des variations de la seule partie de degré 1, via une constante universelle indépendante de l’entrelacs appelée anomalie (introduite par Bott et Taubes), appartenant à l’espace A(J) des diagrammes de support un brin (J = [0, 1]). En fait, la partie de degré 1 peut être fixé par le choix d’une décoration ou courbe parallèle voisine pour chaque composante de l’entrelacs; il se caractérise par la donnée du nombre d’enlacement de chaque composante avec sa courbe parallèle.

Les propriétés que nous démontrons dans cette thèse sur l’intégrale d’espaces de configurations suivent celles de l’intégrale de Kontsevich qui ont été étudiées en profondeur depuis une dizaine d’années, et qui prend ses valeurs dans le même espace A(M). Les physiciens estiment que ces deux expressions sont égales, car elles apparaissent comme étant les développements perturbatifs de la même théorie quantique des champs de Chern-Simons, dans deux jauges différentes: Kontsevich a écrit son intégrale en s’inspirant de la théorie conforme des champs, reconnue comme équivalente à la théorie de Chern-Simons; puis on a défini une jauge (“light-cone gauge”) en théorie de Chern-Simons, qui donne l’intégrale de Kontsevich.

Au même titre que l’intégrale de Kontsevich, l’intégrale d’espaces de configurations est un invariant de Vassiliev universel. Par conséquent, elle contient d’importants invariants connus (polynôme HOMFLY, polynomes de Kauffmann, de Jones, d’Alexander, dont certains correspondent à des choix de groupes de jauge particuliers). Cela dit, elle a beau les contenir en théorie, elle est beaucoup plus difficile à calculer (elle contient une infinité de termes qu’on ne peut donc pas tous calculer, tandis que les polynômes en question sont des objets finis plus facilement calculables, égaux à des sommes de séries qui proviennent de Z(L) tout entier). On ne sait pas si elle classifie les entrelacs à isotopie près, ni même les noeuds.

D’un point de vue mathématique, cette égalité entre les deux intégrales reste actuellement une conjecture. Cependant, les constructions effectuées dans cette thèse impliquent que ce problème se ramène à celui du calcul de l’anomalie, grâce au résultat suivant démontré par Le et Murakami [LM]:

On définit comme associateur tout élément Φ de l’algèbre des diagrammes de support trois brins qui vérifie une série d’axiomes dans lesquels intervient un élément R = exp(\frac{H}{2} ). Ces axiomes expriment essentiellement qu’une certaine expression construite comme assemblage des éléments R et Φ suivant un schéma défini par une certaine disposition d’un entrelacs, est un invariant de cet entrelacs. Le et Murakami démontrent alors que cet invariant ne dépend pas du choix de Φ. Or, il a été démontré que l’intégrale de Kontsevich peut se mettre sous cette forme. Cela prouve donc que tout invariant issu d’un associateur est égal à l’intégrale de Kontsevich.

Le présent travail a pour objet de montrer que l’intégrale d’espaces de configurations se ramène également à un “associateur” vérifiant les mêmes axiomes, sauf que cette construction s’applique à un élément R dont on ne sait pas s’il est ou non égal à exp(\frac{H}{2} ). Cependant, on montrera une formule qui exprime R en fonction de l’anomalie.

Alors, pour prouver l’égalité des deux intégrales, il suffirait de prouver que l’anomalie s’annule en tous degrés supérieurs à 1. Il est facile de voir qu’elle s’annule en degré pair pour des raisons de symétrie. On vérifiera qu’elle s’annule en degré 3. Le résultat d’annulation en degré 5 vient d’être obtenu dernièrment au moyen d’un programme en Maple qui sera expliqué dans un article ultérieur; Yang m’a par ailleurs annoncé qu’il a trouvé une preuve de cette annulation en degré 5 par une autre méthode. Mais faute de prouver l’annulation de l’anomalie en tous degrés > 1, l’annulation jusqu’en degré 2n implique déjà l’égalité des deux intégrales jusqu’en degré 2n, d’après la preuve du théorème de Le et Murakami.

Dans ce qui suit, nous allons donner un aperçu de la théorie de Chern-Simons qui est à l’origine de la construction de l’intégrale d’espaces de configurations: il s’agit d’un développement de style physique, non rigoureux; tandis que la partie essentielle de la thèse (en anglais) est mathématique et rigoureuse, indépendante de cette introduction.

On commencera par exposer la version abélienne classique (i.e. non quantifiée) de cette théorie: le groupe de jauge sera ℝ additif. Ce prototype fournit la partie de degré 1 de Z, et il permet de comprendre l’intervention de la décoration des entrelacs dans une théorie qui semblerait ne pas en dépendre dans sa formulation première.

2 Théorie de Chern-Simons abélienne classique

Nous allons construire une théorie physique décrivant un champ dans l’espace ℝ^{3} qui interagit avec un entrelacs. Or nous connaissons déjà une théorie qui ressemble à cela: il s’agit du champ magnétique qui interagit avec les électroaimants. En fait, la théorie de Chern-Simons abélienne sera semblable à celle de l’induction magnétique sous certains aspects. Nous allons donc commencer par quelques rappels d’électromagnétisme en insistant sur les notions qui seront préservées, puis modifier les équations du champ pour obtenir une théorie invariante par isotopie.

2.1 “Rappels” d’électromagnétisme

Les physiciens confondent habituellement 1-formes, 2-formes et champs de vecteurs au moyen de la structure euclidienne (isomorphisme entre l’espace vectoriel ℝ^{3} et son dual) et de l’orientation de ℝ^{3}. Le rotationnel désigne la dérivée extérieure des 1-formes vers les 2-formes. La divergence div désigne la dérivée extérieure des 2-formes vers les 3-formes identifiées aux scalaires. Le produit vectoriel × désigne le produit extérieur de deux 1-formes.

Pour éviter d’utiliser la structure euclidienne, nous considérerons ici le champ électrique E comme 1-forme, et le champ magnétique B comme 2-forme.

Dans un fil conducteur, si le champ dérive d’un potentiel scalaire, le courant réagit à la différence de potentiel entre deux points (dans un fil résistif, le courant est proportionnel au champ électrique qui est le gradient du potentiel). Plus généralement lorsque le champ électrique ne dérive pas d’un potentiel défini sur l’espace, il réagit à la différence de potentiel apparente qui se définit par intégration du champ électrique le long du fil. Mais pour nous, les fils électriques seront disposés suivant des entrelacs: chaque composante connexe C est une simple courbe fermée en un point duquel se trouve un générateur de courant éventuellement modulable (on inclura par convention la résistance du fil dans celle du générateur, de sorte qu’on considérera le fil lui-même comme étant non résistif). Par conséquent, seule est observée l’intégrale du champ électrique sur une courbe fermée C (cette intégrale prend alors le nom de “force électromotrice”). Un champ dérivant d’un potentiel scalaire ne sera pas détecté.

On sait que cette force électromotrice est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps du flux ϕ du champ magnétique à travers une surface de Seifert S de ce fil (∂S = C): V_{em} = \frac{dϕ}{dt} où ϕ = ∫∫_{S} B.

Cela s’exprime au moyen de la 1-forme singulière A habituellement appelée “potentiel vecteur” par les physiciens, et qui vérifie les équations

\{ \begin{matrix}B & = dA \\ E & = −dV − \frac{∂A}{∂t} \end{matrix}

(pour nous, le potentiel scalaire n’intervient pas: on peut poser V = 0.) Le flux du champ magnétique à travers la bobine C est

ϕ = ∮_{C} A

et la force électromotrice est

V_{em} = − ∮_{C} E

On se rappelle que cette dernière formule s’applique également au cas d’une bobine en mouvement dans un champ magnétique (contrairement aux remarques précédentes qui supposaient fixe la bobine), à cause de la force exercée par le champ magnétique sur une charge en mouvement.

Définition 1 Le flux ϕ = ∮_{C} A sera appelé état du champ A au-dessus de C.

Notons i l’intensité du courant dans la bobine C.

Le transfert d’énergie entre le générateur de courant et le champ magnétique peut se comprendre comme étant le travail d’une force^{1}, de la manière suivante: on remarque que le générateur de courant fournit une puissance

P = i × V_{em} = i × \frac{dϕ}{dt}.  (2)

On dira donc que

le générateur de courant exerce la force i sur l’état ϕ du champ A le long de C.

Dans le cas d’une bobine placée dans un champ magnétique extérieur, c’est cette force qui, prenant appui sur le champ, tend à déplacer la bobine.

Nous venons ainsi de préciser une forme naturelle d’interaction mécanique entre une courbe fermée C (bobine électrique) et un champ A qui est une forme différentielle de degré 1. Cette interaction s’exprime sans référence à la structure euclidienne de R^{3} mais uniquement au moyen de sa structure de variété. Ce champ A n’a de réalité observable que par la donnée de son intégrale le long de courbes fermées, autrement dit doit être considérée modulo les transformations de jauge

A′ = A + dc

où c est un champ de scalaires quelconque. Dans le cas de l’espace R^{3} simplement connexe, cette donnée est équivalente à celle du champ magnétique, qui est la dérivée extérieure B = dA de A.^{2}

Nous avons vu l’expression de l’énergie fournie par la bobine au cours de mouvements, donc de la force exercée par le courant sur le champ. Mais cela ne nous renseigne pas sur la manière suivant laquelle A se déforme sous l’action du courant, laquelle dépend des propriétés mécaniques internes du champ A. Autrement dit, elle dépend de l’expression de la densité d’énergie de A, qui est une 3-forme associée à A appelée le lagrangien. En effet, l’expression de l’énergie étant donnée, les valeurs possibles du champ A sont les états d’équilibre, qui sont par définition les états au voisinage desquels les variations de l’action ou énergie totale du système, sont nulles au premier ordre par rapport aux perturbations de A.

2.2 Le lagrangien de Chern-Simons abélien

Soit L un entrelacs, plongement d’un ensemble M = X × S^{1} dans R^{3} (avec X ensemble fini). Nous voulons définir une loi reliant le champ A aux courants électriques circulant dans les fils de L, qui détermine A à une transformation de jauge près, et qui soit invariante par isotopie. Ainsi, l’intégrale de A le long d’une courbe fermée γ disjointe de L doit être invariante par isotopie: cela implique que dA = 0 en dehors de l’image de L, donc cette intégrale ne dépend que de la classe de γ dans H_{1}(R^{3} − L): c’est une combinaison linéaire des nombres d’enlacement de γ avec les composantes connexes C_{x} = L({x} × S^{1}) indexées par x ∈ X. Nous n’avons alors plus tellement le choix:

1Rappel: le travail d’une force constante est égal au produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement (variation de la position), autrement dit la puissance (travail par unité de temps) est le produit du vecteur force par le vecteur vitesse. Ici, la “force” en question va s’exercer dans l’espace à une dimension des valeurs de ϕ

2En pratique seul B est observable directement car l’énergie d’un système n’est mesurable qu’à une constante additive près. L’intégrale de A n’est en elle-même observable que modulo une constante liée à h̄ dans le monde quantique; mais sans s’occuper du monde réel, nous allons considérer théoriquement l’intégrale de A le long de courbes fermées comme directement observable.

Nous supposerons que les coefficients de cette combinaison linéaire sont égaux aux intensités i_{x} du courant dans les composantes respectives C_{x} de L.

Autrement dit,

dA = j  (3)

où j est la distribution des courants définie par

∀ω ∈ Ω^{1}(R^{3}), ∫_{R^{3}} ω ∧ j = ∑_{x∈X} i_{x} ∫_{C_{x}} ω.  (4)

Le rôle du champ magnétique B précédemment décrit est donc joué ici par le courant j (par comparaison, rappelons qu’en électromagnétisme on a rot A = B et rot B = j). Bien sûr, j n’est pas une vraie 2-forme différentielle mais une limite de formes différentielles au sens des distributions.

Remarquons que l’équation posée ici rompt la symétrie d’orientation de l’espace, contrairement à l’électromagnétisme. Plus précisément, l’énergie du champ que l’on va maintenant définir aura la propriété de changer de signe lors d’une symétrie miroir.

Nous allons maintenant déduire l’expression de l’énergie S du champ A, d’après ses échanges d’énergie avec l’entrelacs.

Nous avons dit que pour toute courbe fermée γ, l’état de A au-dessus de γ est donné par

ϕ_{γ} = ∑_{x∈X} i_{x}lk(γ, C_{x})

où lk désigne le nombre d’enlacement. Appliquons cette formule au cas où γ décrit l’ensemble des C_{x}. Ainsi, le vecteur colonne Φ des états est relié au vecteur colonne I des intensités i_{x} par

Φ = EI

où E est la matrice d’enlacement de l’entrelacs L (elle est symétrique).

On remarque que cette formule fait intervenir toute la matrice d’enlacement E, dont les éléments diagonaux sont les auto-enlacements (enlacement de la courbe avec sa courbe parallèle) des composantes de L, qui ne semblaient pas intervenir jusque-là. En fait, l’état de A au-dessus d’une courbe C_{x} est à priori très mal défini puisque sur cette courbe, le champ A diverge. Pour obtenir un résultat, il faut mesurer cet état au-dessus d’une courbe parallèle voisine, autrement dit choisir une décoration. Nous discuterons plus en détail des moyens de régulariser le phénomène dans la section suivante.

D’après la formule (2) et le principe de conservation de l’énergie, la variation de l’énergie (ou action) S du champ lors d’une variation infinitésimale de I est donnée par:

δS = ^{t}I δΦ = ^{t}IEδI.

On en déduit (à une constante additive près qu’on posera nulle) que

S = \frac{1}{2} ^{t}IEI

soit, d’après la formule (4) appliquée à ω = A,

S = \frac{1}{2} ∫_{R^{3}} A ∧ j = \frac{1}{2} ∫_{R^{3}} A ∧ dA.

Il est facile de voir que l’action S est invariante par transformation de jauge, puisque la forme j = dA est à support compact.

Définition 5 La forme \frac{1}{2}A ∧ dA sera appelée le lagrangien de la théorie de Chern-Simons abélienne.

Ces opérations ne sont certes pas rigoureuses (mais ceci est exposé de physique et non de mathématiques…). Nous allons maintenant présenter une manière de régulariser le phénomène, où la forme A sera continue, et vérifier que l’équation (3) est équivalente au principe de moindre action appliqué au système (champ + courants), où l’action propre du champ est

S_{CS} = \frac{1}{2} ∫_{R^{3}} A ∧ dA.  (6)

2.3 Discrétisation et régularisation

Nous avons vu deux manières de définir le champ et d’exprimer son action: d’une part, en termes d’une 1-forme A, malheureusement singulière. D’autre part, en termes d’un entrelacs avec la donnée I de ses courants et sa matrice d’enlacement. Nous allons voir, d’une part qu’on peut approcher ce champ par un champ A continu, afin que l’expression de l’action (6) soit mathématiquement correcte; d’autre part, que tout champ A continu peut s’approcher par un champ singulier défini par un entrelacs, en sorte que la régularisation ne produit pas quelque chose de fondamentalement nouveau mais tout peut toujours s’exprimer à epsilon près en termes d’entrelacs tels qu’on les a vus précédemment. Remarquons que dans tout cela on n’a pas à s’occuper du fait que les supports soient compacts ou non, car l’entrelacs étant compact, on peut toujours supposer que A est à support compact, modulo une transformation de jauge appropriée.

Régularisation d’un champ discret.

L’idée de base est simple: l’entrelacs étant physiquement constitué de fils conducteurs (chacun muni d’un générateur de courant…), on considérera que ces fils ont en réalité une certaine largeur (petite), leurs sections étant des petits disques au premier ordre d’approximation; que le courant j est localement uniforme à l’intérieur mais nul à l’extérieur, donc discontinu à la frontière. Formalisons cela plus précisément.

Soit le cylindre plein K = D × R où D ⊆ C est le disque de centre O et de rayon 1. Une intensité i ∈ R étant donnée, soit le courant j vertical constant dans K, image réciproque de la 2-forme constante sur D de mesure totale i par la projection canonique.

Soit maintenant f ∈ R, et soit K(f) le quotient de K par le groupe de transformations engendré par

(z, u) ∈ D × R ⟼ (ze^{−2πif}, u + 1).

Le courant j est préservé par cette transformation, donc passe au quotient.

Pour chaque composante C_{x} de l’entrelacs, nous supposerons qu’il existe une valeur f_{x} de f telle que le fil U_{x} voisinage tubulaire de C_{x} (portant le courant), admet un difféomorphisme à K(f_{x}) respectant le courant (dont l’intensité est donnée par i = i_{x}), ainsi que l’orientation.

Enfin, nous supposerons que ce difféomorphisme transporte les deux courbes de K(f_{x}) définies respectivement par z = 0 et z = e^{−2πifu} en deux courbes d’enlacement nul. (Ceci est une condition sur la partie entière de f_{x}, sa partie fractionnaire étant déterminée par la condition précédente).

On a alors la proposition suivante:

Proposition 7 Les hypothèses précédentes et la condition dA = j, entraînent que l’action (6) obéit à la formule

S_{CS} = \frac{1}{2} ^{t}IEI

où les coefficients non diagonaux de E sont les nombres d’enlacement et les coefficients diagonaux sont les f_{x} définis plus haut.

Nous démontrerons cette proposition dans le cas où les f_{x} sont des entiers relatifs, et l’admettrons dans le cas général (la démonstration, faisable, serait un peu plus technique…)

Discrétisation d’un champ continu.

Nous savons que dans un espace de distributions, ou si on préfère un espace de mesures muni de la topologie duale des fonctions continues, les combinaisons linéaires de masses de Dirac forment un sous-espace dense, et les fonctions en escalier (multipliées par la mesure de Lebesgue) également. Pour la même raison, les combinaisons linéaires de 1-formes distributions A_{S} définies formellement à partir de surfaces S par la formule

∀ω ∈ Ω^{2}(R^{3}), ∫_{R^{3}} ω ∧ A_{S} = ∫_{S} ω

forment une partie dense de l’espace dual de celui des 2-formes continues. Or la différentielle dA_{S} d’une forme A_{S} est égale au courant d’intensité 1 le long de la courbe, d’autoenlacement nul, égale au bord de S.

Par conséquent, tout champ continu A se modélise approximativement par une superposition d’un grand nombre de surfaces avec de petits coefficients, et l’intégrale de A le long d’une courbe fermée ou non est approchée par le nombre d’intersections algébriques, munis de ces coefficients, de la courbe avec toutes ces surfaces. Le courant dA est ainsi approché par des courants de support un entrelacs (où le nombre et éventuellement la longueur des composantes tend vers l’infini lorsqu’on affine l’approximation).

Preuve de la proposition 7 dans le cas f ∈ Z.

Considérons une seule composante de l’entrelacs initial, dont on prend une régularisation difféomorphe à K(f) avec f ∈ Z. Discrétisons alors le courant dans le tore plein K_{f}: il est alors remplacé par un grand nombre de faibles courants singuliers disposés suivant des droites verticales. (c’est l’image réciproque par la projection canonique d’une combinaison linéaire d’un nombre fini mais grand de masses de Dirac sur le disque D qui constitue une approximation de la densité uniforme).

Transportons cela sur le voisinage tubulaire de la courbe: on a alors un grand nombre de courbes fermées ayant toutes deux à deux un nombre d’enlacement égal à f. Regardons ce qui se passe alors du côté de la formule de l’énergie par la matrice d’enlacement: une intensité unique i est remplacée par un grand nombre de petites intensités dont la somme est égale à i. L’expression S_{CS} = \frac{1}{2} ^{t}IEI de l’énergie après cet éclatement peut être vue (sauf pour les termes diagonaux) comme le simple développement de l’expression S_{CS} = \frac{1}{2} fi^{2} lorsqu’on remplace i par la somme des petites intensités. Remarquons que dans ce processus, la somme des contributions des coefficients diagonaux tend vers 0, du moment que l’ensemble des autoenlacements reste borné (ainsi, la singularité de l’expression à intégrer s’estompe lorsqu’on éclate un courant en un grand nombre de petits courants parallèles). On ne commet donc pas une erreur à la limite si on suppose que tous les autoenlacements valent également f. Ceci prouve la proposition 7 dans le cas f ∈ Z.

Pour le cas f ∉ Z, on peut aussi trouver une méthode pour démontrer la proposition: soit approcher f par un rationnel et prendre un entrelacs dont les composantes s’enlacent un grand nombre de fois dans K(f) (égal au dénominateur de f). Ou encore, décomposer le courant j dans le voisinage tubulaire en une combinaison linéaire de deux courants ayant chacun un autoenlacement entier, et considérer l’entrelacs mêlant des fils dirigés par chacun de ces deux courants. On peut aussi, également, effectuer le calcul en termes d’intégrales. Ces méthodes peuvent présenter quelques difficultés techniques mais le résultat final est sans surprise.

Vérification du principe de moindre action.

Nous allons vérifier que la condition dA = j est équivalente au principe de moindre action, autrement dit qu’elle exprime l’équilibre du champ A soumis au système de forces j.

Vérifions d’abord que dA = j implique l’équilibre, autrement dit que lors d’une variation infinitésimale de A, l’énergie est conservée au premier ordre d’approximation. En vertu de la discrétisation du champ que nous venons de décrire, et grâce à la linéarité du développement au premier ordre, il suffit de vérifier au premier ordre la conservation de l’énergie du système formé du champ et des courants, lors de l’ajout d’une nouvelle boucle de courant de faible intensité considérée comme une force extérieure appliquée au système. On rappelle que l’expression de l’énergie S_{CS} du champ a été construite de manière à vérifier la conservation de l’énergie totale lors de l’interaction du champ avec des courants variables. Lorsque son intensité passe de zéro à ε, la puissance (2) fournie par l’extérieur sur le système est le produit de l’intensité (entre 0 et ε) par la variation du flux, qui est également epsilonesque et peut même être supposée nulle en considérant que la nouvelle boucle de courant est d’autoenlacement nul (car obtenu comme bord d’une surface). Donc la variation d’énergie du système est bien nulle au premier ordre.

Nous venons ainsi de vérifier le principe de moindre action en restant “dans les principes”; voyons maintenant ce qui se passe concrètement, et la réciproque en résultera.

La valeur du champ A en chaque point P de R^{3} est en fait soumise à deux forces:

• D’une part, la force du courant j en P: en effet, nous avons dit que chaque composante C_{x} d’un entrelacs exerce la force d’intensité i_{x} sur l’état de A audessus de C. Ainsi, par régularisation, le courant j exerce une force sur A dont la densité locale (ou pression volumique, semblable à celle de la pesanteur...) en P est égale à j(P); autrement dit, cette force appliquée à tout le champ A est celle qui dérive du potentiel − ∫_{R}^{3} A ∧ j.

• D’autre part, la force du reste du champ A, dérivant de l’action \frac{1}{2} ∫_{R}^{3} A∧dA; sa densité locale en P est égale à −dA. En effet, modifier la valeur de A en A+δA (avec δA petit) contribue doublement à la variation de l’intégrale: d’une part, par la variation

\frac{1}{2} ∫_{R}^{3} δA ∧ dA,

d’autre part, par la variation

\frac{1}{2} ∫_{R}^{3} A ∧ dδA

en fait égale à la première, puisque δA est à support compact.

La condition d’équilibre du champ A est que ces deux pressions se compensent en tout point, autrement dit que dA = j, ce qu’il fallait démontrer.

3 Rappels de géométrie différentielle

Nous aurons besoin dans la suite des notions de fibré, fibré vectoriel, fibré principal. Introduisons proprement ces notions.

Définition 8 Soit M une variété connexe de dimension n. On appellera fibré localement trivial au-dessus de M une variété M′ munie d’une projection de M′ sur M, et d’une certaine structure sur chaque fibre, telle que:

• Il est localement trivial: au-dessus d’ouverts U recouvrant M, ces structures sont isomorphes à celles d’un produit cartésien U × F où F est une copie d’une fibre avec sa structure. (toutes les fibres sont alors isomorphes entre elles).

• Le groupe d’automorphismes de chaque fibre est un groupe de Lie; soit k sa dimension.

On pourra travailler aussi en termes de théorie des catégories, en oubliant les fibres et en ne considérant que les isomorphismes entre elles:

Considérons la catégorie C dont les objets sont les points de M, et les flèches sont les isomorphismes entre les fibres correspondantes. Toutes les flèches sont des isomorphismes, et tous les objets sont isomorphes entre eux. L’ensemble de toutes les flèches constitue une variété de dimension 2n + k.

S’il peut être gênant de ne plus voir les flèches comme étant les isomorphismes de quelque chose, on peut canoniquement reconstituer un fibré à partir de cette catégorie munie de sa structure de variété: ce sera le fibré principal défini de la manière suivante:

Ajoutons à cette catégorie un objet R, dit objet de référence, que l’on supposera isomorphe aux points de M (les flèches entre les autres objets restant les mêmes). Le groupe d’automorphismes de R, isomorphe à tous les groupes d’automorphismes des points de M, sera noté G.

On appelle alors fibré principal associé à M′ l’ensemble des flèches de R vers tous les éléments de M. C’est un fibré localement trivial, muni de l’action à droite de G par composition. L’ensemble des automorphismes de la fibre Mor(R, P) au-dessus de chaque point P de M (permutations de la fibre qui commutent avec l’action de G), s’identifie à l’ensemble des automorphismes de l’objet P.

Nous allons définir la notion de connexion: c’est une manière d’identifier au premier ordre les fibres voisines, de manière compatible au premier ordre (linéaire sur les espaces tangents) mais non au second ordre si n > 1 (et en fait, le défaut d’identification au second ordre, appelé courbure, contrôle le défaut d’identification sur les ouverts simplement connexes de M).

Définition 9 On appelle connexion une loi différentiable qui à tout P ∈ M associe un sous-espace vectoriel de l’espace tangent à Mor(P, ·) en Id_{P}, qui soit un supplémentaire de l’espace tangent à Mor(P, P).

Une trivialisation du fibré M′ est une manière d’identifier M′ au produit cartésien M × F où F est la fibre type incarnant l’objet de référence R. Cette donnée est équivalente à celle d’une section du fibré principal associé à M′. (il existe une trivialisation lorsque M est contractile)

L’espace tangent à Mor(P, ·) en Id_{P} se transporte sur l’espace tangent au fibré principal Mor(R, ·) en une flèche de R vers P, par composition par cette flèche: ainsi, d’une part une connexion fournit un champ de sous-espaces transverses à la fibre des espaces tangents au fibré principal; d’autre part, une trivialisation définit canoniquement une connexion au moyen du champ des espaces tangents à cette section du fibré principal.

Deux trivialisations définissent la même connexion si et seulement si elles diffèrent par composition par un automorphisme de R (si M est connexe). Une connexion qui correspond à au moins une trivialisation est dite triviale. Une connexion localement triviale est dite plate.

Une connexion trivale se définit également comme étant une sous-catégorie de la catégorie C dont les flèches forment une section (différentiable) du fibré des flèches de C au-dessus de M × M: les isomorphismes entre les points de M et R définissent des isomorphismes des points de M entre eux.

Si M est un intervalle de R, toute connexion correspond à au moins une trivialisation: la connexion définit un champ de droites tangentes qu’il suffit d’intégrer. Donc, si M est de dimension 1, toute connexion est nécessairement plate.

Remarque 10 Il y a correspondance bijective naturelle entre les classes d’isotopie de connexions sur le fibré normal (en plans euclidiens) aux noeuds, et classes d’isotopie de plongements de tores K_{f} considérés lors de la régularisations. Donc une classe d’homotopie de connexions sur le fibré normal à un noeud se décrit par son autoenlacement appartenant à R; les valeurs entières de cet autoenlacement correspondent aux connexions triviales.

Soient M_{1} et M_{2} deux variétés, et φ une application différentiable de M_{1} vers M_{2}. Alors, tout fibré au-dessus de M_{2} muni d’une connexion se transporte par φ en un fibré au-dessus de M_{1} muni d’une connexion. Cette remarque s’utilise en particulier dans le cas d’un chemin γ, application de l’intervalle J = [0, 1] dans M: la connexion ω au-dessus de M est alors transportée en une connexion triviale au-dessus de J, ce qui définit une flèche de γ(0) vers γ(1) appelée holonomie de la connexion ω le long de la courbe γ.

Plus particulièrement, on s’intéressera au cas où la courbe γ est fermée, autrement dit γ(0) = γ(1); elle constitue une application du cercle S^{1} dans M. L’holonomie le long de γ est alors un automorphisme d’un point P de la courbe; cet automorphisme se transporte via une flèche de R vers P en un élément de G dont la classe de conjugaison ne dépend ni de la flèche choisie, ni du point P choisi comme origine de la courbe.

Définition 11 On appellera état d’une connexion ω au-dessus d’une courbe fermée γ, la classe de conjugaison dans G de l’holonomie de ω le long de γ.

L’ensemble des connexions forme un espace affine de dimension infinie. En effet, une connexion est une section d’un fibré en espaces affines: l’ensemble des supplémentaires de l’espace tangent à G_{P} = Mor(P, P) dans l’espace tangent à Mor(P, ·) en Id_{P} est un espace affine, dont l’espace vectoriel associé est l’espace des applications linéaires de T_{P} M dans l’algèbre de Lie G_{P} = T_{Id_{P}} Mor(P, P) du groupe G_{P}.

En pratique, on exprime souvent les connexions par rapport à une trivialisation donnée: la différence entre les deux connexions s’exprime en tout point par une application linéaire de T_{P} M dans l’algèbre de Lie de G_{P} que l’on transporte sur l’algèbre de Lie G de G = Mor(R, R) par la flèche de R vers P de la trivialisation considérée.

Soit α une trivialisation, et α_{P}^{∗} l’isomorphisme induit par α de G vers G_{P}. Dans la suite, on notera A une 1-forme différentielle sur M à valeurs dans G,

qui représentera une connexion ω à partir de la connexion triviale ω_{0} définie par α de la manière suivante. Pour tout P ∈ M, soit π_{P} la projection canonique de l’espace tangent T_{Id_{P}} Mor(P, ·) sur T_{P} M.

Alors, la valeur ω(P) ⊆ (T_{Id_{P}} Mor(P, ·)) de la connexion ω en P se définit par les deux formules équivalentes suivantes:

∀x ∈ ω(P) , x + α_{P}^{∗} A_{P} π_{P} (x) ∈ ω_{0}(P)
∀y ∈ ω_{0}(P)^{⊥} , y + yα_{P}^{∗} A_{P} π_{P} ∈ ω(P)^{⊥}

Ainsi, A mesure le “mouvement de la trivialisation par rapport à la connexion considérée”. On pourrait penser que cette convention n’est pas très heureuse et qu’on préfèrerait exprimer le mouvement de la connexion par rapport à la trivialisation. Mais il est préférable de garder la même convention que celle qui est partout employée dans la littérature, et qui est issue de la remarque suivante: soit c une section d’un certain fibré vectoriel M′ au-dessus de M, dont le fibré principal associé est celui que l’on considère, et convenons que c est exprimée suivant la trivialisation α par une application de M dans un espace vectoriel E. Alors la dérivée covariante Dc de c, représentant la dérivée de c suivant la connexion ω, s’exprime à partir de la dérivée dc (dérivée suivant la trivialisation) par la formule

Dc = dc + Ac

en identifiant l’algèbre de Lie G à un ensemble d’endomorphismes de E.

Définition 12 Soit A une 1-forme différentielle sur M à valeurs dans G. On appelle transformation de jauge de A la transformation qui remplace A par une forme A′ représentant la même connexion que A dans une autre trivialisation.

Nous allons maintenant définir la courbure d’une connexion, qui mesure la non-platitude de cette connexion:

Définition 13 Soit A une 1-forme différentielle sur M à valeurs dans G. On appelle courbure de A la 2-forme différentielle à valeurs dans G définie par

F = dA + A ∧ A

Expliquons d’abord la signification de cet objet F par rapport à la connexion définie par A, puis celle des notations employée dans la formule.

Pour savoir si une connexion est plate, on prend un ouvert simplement connexe de M, puis on essaie d’identifier entre elles les fibres suivant la connexion.

Pour cela, on utilise l’holonomie de la connexion le long de chemins (unicité de la trivialisation compatible avec la connexion au-dessus d’un chemin injectif). Puis on regarde si c’est cohérent, c’est-à-dire si l’holonomie le long de deux chemins γ_{1} et γ_{2} de mêmes extrémités donne le même isomorphisme. Le décalage se mesure par l’holonomie de la connexion suivant la courbe fermée γ obtenue par recollement de γ_{1} et γ_{2}. Comme on se place dans un ouvert simplement connexe, γ borde l’image d’un disque que l’on peut découper en un grand nombre de surfaces infinitésimales, et l’holonomie le long de γ est une sorte d’intégrale non-commutative de toutes les holonomies le long des bords de ces surfaces.

Nous supposerons pour simplifier que M est de dimension 2, munie d’un système de coordonnées locales (x, y). Cet opérateur qui à un élément de surface autour d’un point P associe un automorphisme infinitésimal, donc un élément de l’algèbre de Lie G_{P}, s’exprime comme 2-forme à valeurs dans G, de la manière suivante: si en un point P, F_{P} = f dx ∧ dy, alors le transport suivant la connexion d’un élément du fibré M′ sur le bord d’un carré de surface s petite voisine de P dans le sens antitrigonométrique (on augmente y puis x, ensuite on diminue y puis x) est équivalente au premier ordre à l’action de exp(α_{P}^{∗} sf) ∈ G_{P}.

Expliquons maintenant la notation dA + A ∧ A. La notation dA est simplement la dérivée extérieure (suivant la trivialisation) de la 1-forme A à valeurs dans l’espace vectoriel G.

La notation A ∧ A est un peu plus subtile: elle signifie qu’en écrivant A sous la forme A = A_{x}dx + A_{y}dy, alors A ∧ A = (A_{x}dx + A_{y}dy) ∧ (A_{x}dx + A_{y}dy) = (A_{x}A_{y} − A_{y}A_{x})dx ∧ dy = [A_{x}, A_{y}]dx ∧ dy. Cela s’explique en pensant que G est une algèbre de Lie d’endomorphismes d’un espace vectoriel E, et que A_{x}A_{y} désigne la composition des endomorphismes.

4 Jauge issue de la structure euclidienne de R^{3}

4.1 Le choix de jauge

Reprenons la théorie de Chern-Simons abélienne. Nous allons à présent utiliser la structure euclidienne de R^{3} pour fixer la jauge, c’est-à-dire choisir une forme A parmi les différentes solutions de l’équation dA = j. Un résultat standard de l’électromagnétisme est le suivant (en adaptant les notations):

Proposition 14 Soit j un champ de vecteurs à support compact tel que div j = 0. Le système d’équations

\{ \begin{matrix}rot A & = j \\ div A & = 0 \\ A & ⟶_{∞} 0 \end{matrix}

possède une unique solution A qui s’écrit

A = − rot Δ^{−1}j

où Δ^{−1} est l’opérateur inverse du laplacien, égal à la convolution par la fonction

x ↦ −\frac{1}{4π||x||}.

Rappelons rapidement la démonstration (elle utilise l’identité bien connue rot rot = grad div −Δ).

Unicité: la différence δA de deux solutions vérifie rot δA = 0 et div δA = 0 donc elle est harmonique, or elle tend vers 0 à l’infini donc elle est identiquement nulle.

Existence: vérifions que A = − rot Δ^{−1}j est bien solution du système. L’équation div A = 0 résulte de div rot = 0 (c’est effectuer deux fois de suite la dérivée extérieure). L’équation rot A = j résulte de

rot rot Δ^{−1}j = grad div Δ^{−1}j − ΔΔ^{−1}j
⇒ − rot A = −j

car div j = 0. Enfin, A tend vers 0 à l’infini car j est à support compact et le gradient de x ↦ −\frac{1}{4π||x||} tend vers 0 à l’infini.

Explicitons la formule A = − rot Δ^{−1}j :

A(P) = \frac{1}{4π} rot (∫_{Q∈R^{3}} \frac{j(Q)}{||P − Q||}) = \frac{1}{4π} ∫_{Q∈R^{3}} grad_{P} (\frac{1}{||P − Q||}) × j(Q)

A(P) = \frac{1}{4π} ∫_{Q∈R^{3}} \frac{(Q − P) × j(Q)}{||P − Q||^{3}}  (15)

Dans le cas où j est un courant singulier d’intensité 1 porté par une courbe fermée γ, plongement de S^{1} dans R^{3}, on a

A(P) = \frac{1}{4π} ∫_{x∈S^{1}} \frac{(γ(x) − P) × dγ(x)}{||P − γ(x)||^{3}}

et l’intégrale de A le long d’une courbe fermée γ′ s’écrit

∮_{γ′} A = \frac{1}{4π} ∫_{x∈S^{1}} ∫_{x′∈S^{1}} \frac{det(γ(x) − γ′(x′), dγ(x), dγ′(x′))}{||γ′(x′) − γ(x)||^{3}}

soit

∮_{γ′} A = ∫_{S^{1}×S^{1}} ψ^{∗}ω  (16)

où ψ est l’application de S^{1} × S^{1} dans S^{2} définie par (x, x′) ↦ \frac{x′−x}{||x′−x||}, et ω est la forme volume invariante de S^{2} dont l’intégrale vaut 1.

On obtient ainsi une formule intégrale du nombre d’enlacement de deux courbes qui correspond au degré de l’application ψ de S^{1} × S^{1} dans S^{2}. Nous allons à présent examiner la formule correspondante de l’autoenlacement, soit γ′ = γ. Pour l’interpréter, nous aurons besoin de voir un cas particulier simple d’espace fibré muni d’une connexion.

4.2 Le fibré tangent de S^{2}

On considère ici le fibré tangent à la sphère S^{2}, autrement dit on prend comme espace de base M la sphère S^{2}, et la fibre au-dessus de chaque point s ∈ S^{2} est le plan orthogonal à s muni de sa structure d’espace vectoriel euclidien orienté. Le groupe d’automorphisme G de chaque fibre est le groupe U(1) des nombres complexes de module 1. Ce fibré n’est pas trivial, mais si on se restreint à une carte (il suffit d’enlever un point de S^{2}), on peut alors considérer une trivialisation.

Ce fibré est naturellement muni d’une connexion (c’est un cas particulier de la connexion naturelle du fibré tangent d’une variété riemannienne): étant donnés deux points voisins s et s′, on considère l’isomorphisme entre les plans s^{⊥} et s′^{⊥} défini par la rotation d’axe l’intersection de ces deux plans.

On ne va pas ici justifier le fait que c’est bien une connexion; on peut le faire en considérant l’algèbre de Lie du groupe SO(3). Par symétrie, la courbure de cette connexion est uniforme. Si on considère U(1) comme groupe de nombres complexes, son algèbre de Lie s’identifie à l’axe des imaginaires purs, et sa courbure vaut −iμ où μ est la 2-forme définie par la mesure issue de la métrique de R^{3} et avec l’orientation standard, autrement dit μ = 4πω.

Ici, on a affaire au groupe de jauge abélien U(1), par conséquent la courbure se résume à la formule F = dA, l’holonomie le long d’une courbe se résume à l’exponentielle de l’intégrale de A sur la courbe qui est égale à l’intégrale de F sur la surface de S^{2} bordée par la courbe (ici, on a enlevé un point de S^{2} pour pouvoir définir A, et la “surface” en question est en fait en toute généralité l’image d’un disque par une application lisse ne passant pas par le point de S^{2} enlevé).

Nous pouvons à présent interpréter l’intégrale représentant l’autoenlacement dans la jauge de la structure euclidienne en termes de connexion sur le fibré normal à la courbe:

Proposition 17 La mesure de l’auto-enlacement par l’intégrale (16) sur l’ensemble C_{θ} des couples de points de S^{1} distincts (notée dans l’article I_{L}(θ)) est égale à celle issue de la remarque 10 appliquée à la connexion image réciproque de la connexion naturelle du fibré tangent de S^{2} par l’application tangente.

Cette proposition peut se démontrer suivant deux méthodes:

L’une, directe, consiste à intégrer le lagrangien pour un courant j régularisé suivant un voisinage tubulaire infinitésimal (de rayon ε^{3} très petit), avec la forme A calculée par (15): on sépare alors l’intégrale en deux zones, l’une constituée des couples de points à distance > ε^{2} ce qui donne (16), l’autre constituée des couples de points à distance < ε^{2} ce qui donne zéro lorsque la connexion sur le fibré normal correspondant au courant j est celle issue de la connexion naturelle du fibré tangent de S^{2}.

L’autre méthode consiste à interpréter l’intégrale I_{L}(θ) comme étant l’intégrale sur C_{θ} de la courbure de l’image réciproque de la connexion naturelle du fibré tangent de S^{2} par l’application ψ: cette intégrale est reliée à l’holonomie de la connexion sur le bord de cette surface, modulo les nombres entiers de tours.

Cette connexion est justement la connexion sur le fibré normal au noeud, en deux exemplaires.

Il est peut-être plus clair d’appliquer cette construction non à C_{θ} mais à un disque D muni d’une application ϕ de D dans S^{2} dont le bord coïncide avec l’application tangente au noeud (voir le lien entre les deux intégrales: lemme 6.16 de l’article).

Cette égalité modulo les entiers prouve que la propriété est conservée au cours des isotopies. Il ne reste plus qu’à la vérifier pour des dispositions particulières du noeud. Ce qui est facile dans le cas des noeuds presque planaires.

5 Théorie de Chern-Simons non-abélienne classique

Soit un fibré principal trivial au-dessus d’une variété M, muni d’une connexion définie par une 1-forme A à valeurs dans une algèbre de Lie G. On suppose que G est munie d’une forme bilinéaire symétrique invariante. Dans le cas d’une algèbre de Lie simple, il n’y a qu’une possibilité pour cette forme à un coefficient multiplicatif près, et elle peut s’écrire comme trace du produit dans une représentation linéaire de ce groupe, notamment la représentation fondamentale dans le cas des groupes de Lie classiques (groupes unitaires ou spécial linéaires, orthogonaux, symplectiques). On notera donc cette forme en termes de trace.

Définition 18 On appelle lagrangien de Chern-Simons la 3-forme^{3}

Tr (\frac{1}{2}A ∧ dA + \frac{1}{3}A ∧ A ∧ A)

et action de Chern-Simons son intégrale sur M.

Expliquons la signification des notations: de la même manière qu’avec la notation A ∧ A pour la courbure, dans un système de coordonnées cette expression se développe en regroupant d’un côté ce qui appartient à l’algèbre de Lie G, et de l’autre l’aspect produit extérieur de formes différentielles. Du côté de G, Tr(\frac{1}{2}A ∧ dA) fournit des traces de produits d’éléments de G, ce qui est la forme bilinéaire invariante considérée; quant à Tr(A ∧ A ∧ A), on peut d’abord développer A ∧ A qui donne une 2-forme à valeurs dans G, puis Tr(A ∧ (A ∧ A)) fournit encore des traces de produits. On peut remarquer que le développement de A ∧ A ∧ A donne dans G un produit totalement antisymétrisé, or il se trouve que l’expression Tr(X.[Y, Z]) dans G est déjà totalement antisymétrique. On peut “expliquer” ainsi le facteur 1/3 par le fait qu’il élimine la redondance due à la double antisymétrisation.

3La normalisation de ce lagrangien employée ici est la plus simple par rapport à la théorie classique pour les entrelacs dans R^{3}, pour garder le même coefficient de A ∧ dA que dans le cas abélien traité précédemment; dans la littérature on trouve une autre normalisation mieux adaptée à la théorie quantique.

Mais la vraie explication de ce coefficient est le fait que l’action S_{CS} ainsi définie est invariante par les transformation de jauge homotopes à l’identité (celles pour lesquelles les deux trivialisations considérées sont homotopes entre elles).

Pour le vérifier, on considère une transformation de jauge infinitésimale définie par une application différentiable c de M = R^{3} dans G: une trivialisation α (section du fibré principal) étant donnée, on définit une nouvelle section du fibré principal par P ↦ α(P) exp(c(P)), et on suppose que c est infiniment petit. Il suffit alors de vérifier que les termes du premier ordre en c dans la nouvelle action s’annulent.

Cette transformation de jauge infinitésimale s’écrit (en enlevant les termes d’ordre supérieur à 1) A′ = A + Dc = A + dc + [A, c].

Le nouveau lagrangien s’écrit

Tr (\frac{1}{2}(A + dc + [A, c]) ∧ d(A + dc + [A, c]) + \frac{1}{3} ⋀^{3}(A + dc + [A, c])) .

Après développement et simplification, la partie d’ordre 1 en c vaut Tr (\frac{1}{2}(dc ∧ dA)) et son intégrale vaut 0 du moment que c est à support compact.

Cette invariance de jauge est une propriété fondamentale: c’est elle qui fait que la théorie de Chern-Simons non-abélienne est une déformation de la théorie abélienne vue précédemment.

Nous allons maintenant traduire le principe de moindre action dans le cas non-abélien, autrement dit examiner l’équilibre des forces auxquelles le champ A est soumis en chaque point.

D’abord, la force interne du champ: examinons la variation de l’action de Chern-Simons du champ A lors d’une modification infiniment petite de A en A + δA où δA s’annule en dehors d’un voisinage infinitésimal d’un point P. Supposons (en utilisant une transformation de jauge) que le champ de départ A s’annule en P. Alors les variations de A ∧ A ∧ A deviennent négligeables et la variation de l’action est donc semblable au cas abélien qui a été étudié: elle vaut ∫_{R^{3}} Tr(dA ∧ δA).

Pour traduire à présent le résultat dans une jauge quelconque, on remarque que dA = F là où A = 0, or la courbure F est une notion invariante par transformation de jauge par construction. Donc en toute généralité pour un δA infinitésimal à support compact, la variation au premier ordre de l’action est

δS_{CS} = ∫_{R^{3}} Tr(F ∧ δA).

Voyons maintenant l’interaction avec l’entrelacs: puisque les transformations de jauge doivent rester inobservables, tout ce qu’on peut observer pour le champ A le long d’une courbe fermée γ est son “état” donné par la définition 11. Le “générateur de courant” exerce alors une force sur cet état.

Supposons que cette force dérive d’un potentiel V défini sur l’ensemble des états G̃ = G/∼ (où ∼ est la relation de conjugaison).

En chaque point P de γ, cette force est la suivante: soit g_{P} = Hol_{γ}(A) ∈ G_{P} l’holonomie de A le long de γ depuis le point P. Le potentiel V s’exprime comme une fonction définie sur G_{P} et invariante par conjugaison. Sa différentielle dV (g_{P}) est une forme linéaire sur l’espace tangent à G_{P} en g_{P}, que l’on transporte par translation en une forme linéaire f_{P} sur l’algèbre de Lie G_{P}. Qu’on utilise la translation à gauche ou à droite donne le même résultat parce que V est constante sur les classes de conjugaison.

La variation au premier ordre du potentiel V appliqué à l’état de A au-dessus de γ s’écrit alors

δV = ∫_{P ∈γ} f_{P} (δA_{P} (dP)).

Nous allons maintenant écrire l’équilibre de ces deux forces. La difficulté est que l’une s’exerce sur un volume (le support de la courbure F) et l’autre est singulière, portée par l’entrelacs. Mais on peut lui donner un sens, au moyen des méthodes de régularisation et de discrétisation que nous avons développées dans le cas de la théorie abélienne.

Le résultat que l’on obtient alors est le suivant, dans le cas où l’autoenlacement est un entier, donc correspond à une courbe parallèle. La courbure devant être portée par l’entrelacs, on a affaire à une représentation du groupe fondamental π_{1}(R^{3} − L) dans G qui vérifie les relations suivantes:

Proposition 19 Soit L un entrelacs, de composantes notées C_{x} avec leurs parallèles C′_{x}. Chaque composante C_{x} exerce sur l’état du champ A au-dessus d’ellemême une force dérivant d’un potentiel V_{x}. Pour chaque x qui sera désormais fixé, soit P un point de la courbe C′_{x} . Soient g_{p} et g_{m} les holonomies de A respectivement le long du parallèle C′_{x} et du méridien de C_{x} en P. Alors on a la relation

g_{m} = exp(−∇V_{x}(g_{p}))

où ∇ désigne le vecteur gradient dans l’algèbre de Lie G_{P}, transporté de la différentielle dV_{x} en g_{p} par translation et par la forme bilinéaire invariante Tr(··) sur G_{P}.

6 Quantification

Nous avons décrit un système classique constitué d’un champ A et d’un entrelacs L, muni de l’action

S = S_{CS} + ∑_{x∈X} V_{x}(A, C_{x}).

En théorie quantique, on n’impose plus le principe de moindre action pour dicter la valeur d’un champ mais on considère la superposition de toutes le valeurs du champ en leur donnant un coefficient exp(iS), et on étudie l’expression

∫ [DA] exp(\frac{iS}{h̄})

où l’intégration porte sur l’espace (de dimension infinie !) de toutes les valeurs possibles du champ A.

La théorie quantique doit redonner la théorie classique à la limite lorsque h̄ → 0. En effet, lorsque h̄ est petit et la valeur de A vérifie approximativement le principe de moindre action, les valeurs de A voisines donnent à peu près la même valeur de l’action S, donc les valeurs exp(\frac{iS}{h̄}) s’ajoutent: ces différents états sont “en phase”, ils forment une interférence constructive. Par contre, lorsqu’une valeur de A ne vérifie pas le principe de moindre action, l’expression exp(\frac{iS}{h̄}) pour les valeurs voisines de A balaie quasi-uniformément le cercle trigonométrique: cela forme des interférences destructives qui annulent quasiment la contribution de ces valeurs de A.

Ce qui a été étudié pendant des années, c’est la théorie quantique de Chern-Simons, avec l’action S_{CS} et des observables donnés par un entrelacs muni d’une représentation R_{x} du groupe G sur chaque composante connexe C_{x} de l’entrelacs:

⟨W (L, (R_{x}))⟩ = ∫ [DA] ( ∏_{x∈X} Tr_{R_{x}} Hol_{γ}(A)) e^{\frac{iS_{CS} (A)}{h̄}} .  (20)

C’est cette expresion dont le développement en série perturbative est l’intégrale de Kontsevich ou l’intégrale d’espaces de configurations suivant la jauge choisie, où l’on attribue les représentations R_{x} aux composantes de l’entrelacs.

Il vient alors naturellement la question: comment, à partir de l’intégrale de Kontsevich, peut-on reconstituer la théorie classique décrite plus haut ? Je ne sais pas quel est le lien exact ni comment le démontrer véritablement. Cependant, une esquisse de réponse est la suivante.

Les potentiels V_{x} peuvent s’exprimer en termes de traces de la représentation fondamentale R_{0}: soit n = dim G̃. On peut alors mettre V_{x} sous la forme

V_{x}(A, C_{x}) = Ṽ_{x}(Tr_{R_{0}}(Hol_{C_{x}}(A)), Tr_{R_{0}}(Hol_{C_{x}}(A)^{2}), ⋯, Tr_{R_{0}}(Hol_{C_{x}}(A)^{n})

(une combinaison linéaire de ces traces suffit en fait pour donner à ∇V_{x} les valeurs qu’on veut).

Maintenant, “il ne reste plus qu’à” effectuer le développement en série entière de l’exponentielle:

∫ [DA] exp (\frac{i}{h̄} ∑_{x∈X} V_{x}(A, C_{x})) e^{\frac{iS_{CS}}{h̄}}

pour faire tendre ensuite h̄ vers 0. Ce développement prend la forme d’une combinaison linéaire infinie d’expressions de la forme (20), mais avec des choix de représentations très compliquées. On peut l’interpréter physiquement en termes du procédé de régularisation et de discrétisation que nous avons étudié: de la même manière qu’une onde électromagnétique classique comporte un grand nombre de photons, de même chaque composante d’un entrelacs interagissant avec le champ suivant la théorie classique est constitué de très nombreuses “particules”, brins parallèles apportant chacune une contribution de l’ordre de h̄ à l’échelle classique.

Cette démultiplication des brins, ainsi que les traces de puissances d’holonomie, correspondent à des opération bien connues sur l’intégrale de Kontsevich. Cela devrait donc, en principe, permettre de reconstituer la théorie classique (décrite par la proposition 19) à partir du développement perturbatif de la théorie quantique (intégrale de Kontsevich ou intégrale d’espaces de configurations). Mais le faire effectivement serait probablement tout un sujet de recherche.