Fondements des mathématiques

Début de livre, chapitres de logique

J'ai entrepris depuis plusieurs années d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici.

• C'est parfaitement rigoureux, tout ce qui est démontrable est démontré depuis le début. Bourbaki avait cet objectif, sauf qu'ici d'autres objectifs s'y ajoutent, qui pourraient a priori sembler contradictoires entre eux et avec celui-ci, mais il s'avère qu'il est parfaitement possible de tous les satisfaire en même temps :
• Mener des approches originales de la plupart des sujets: la plupart des notions étaient déjà essentiellement connues par-ci, par-là, mais bon nombre d'entre elles n'avaient, à ma connaissance, pas été présentées et reliées de la manière ici proposée. Seul le texte 2 rejoint en grande partie la tradition (plus ou moins un début de cours de théorie des ensembles de première année universitaire); les suivants en demeureront éloignés.
  
• L'accent est mis sur l'intuition, les explications "philosophiques" et la signification profonde des choses, du monde mathématique, sans être ralenti par des développements fastidieux de règles formelles et rébarbatives c'est-à-dire qui seraient longues manquant d'intérêts dans leurs détails. Non que cela manque non plus de rigueur ou de formalisme, au contraire, mais c'est précisément le formalisme employé qui produit et concentre la signification.
  
• Les outils développés sont très puissants et généraux.
• Très rares sont les démonstrations faisant plus d'une demie-page, et la plupart ne font au plus que quelques lignes; tous les choix sont faits avec le plus grand soin pour un cheminement le plus court et élégant possible, sans rien de fastidieux.

• Correction de "espèce" en "sorte" pour se conformer aux usages. 
• Remplacement du mot "application" par "fonction" dans les textes 1 et 2, pour désigner la même chose, et afin de mieux ressembler à l'usage anglophone "function", et pour sonner mieux en français même si c'est moins conventionnel (je n'ai pas besoin d'un ensemble de départ distinct d'un ensemble de définition). 
• Fin août 2010: renommage de "formule = terme ou énoncé" en "expression = terme ou formule" et de "omni-énoncé" en "énoncé" dans math1.pdf, restant à effectuer sur la suite.

Partie 1 bis: commentaires philosophiques (extraite de l'ancienne partie 1, encore à l'état de brouillon).

Ancienne version en html

Commentaires sur le texte 1

Commentaires sur le texte 2

La traduction de toute relation entre deux ensembles en une application par fixation d'une variable, à savoir lors de la bijection canonique ℘(E×F) ≅ (℘(F))^E, est notée par une flèche style vecteur; de même avec une flèche gauche pour l'autre variable.

L'axiome du choix est exposé par motif de clarification mais il ne sera pas utilisé par la suite.

Commentaires sur le texte 3

Rapide historique des mathématiques

(petit ancien chapitre qui était dans le texte de maths et n'y était pas vraiment à sa place)
La recherche en mathématiques a connu une progression accélérée dans l'histoire. Depuis l'étude de la géométrie par les Grecs, des progrès importants n'ont été réalisés qu'au cours de ces derniers siècles avec par exemple l'étude de la mécanique céleste (Newton\dots ) puis de l'élec\-tro\-magnétisme, accompagnés d'outils d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre (résolution d'équa\-tions, nombres complexes). 
La théorie des ensembles n'a été étudiée qu'au début du 20ème siècle par Cantor. C'est surtout au vingtième siècle que le développement des mathématiques et de la physique fondamentale a été explosif. En gros, les théories fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base ont été découvertes dans la première moitié du siècle; puis, après une restructuration effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki (seulement en maths et non en physique), de très nombreux développements ont été réalisés dans la seconde moitié.

Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche possibles sont très nombreuses, leur multiplication étant désormais principalement limitée par le nombre de mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus nombreux et que l'outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine, puisque l'acquisition par une seule personne de toutes les connaissances actuellement disponibles en mathématiques par exemple nécessiterait quelques milliers d'années d'études (!).

Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans le secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux premières années d'université reflète très mal cette richesse et ce foisonnement~: il est constitué d'un tronc commun qui n'a pratiquement plus évolué depuis la ``réforme des mathématiques modernes'' (dont la mise en place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a été assez désastreuse pour un grand nombre d'élèves de cette époque, suivie en quelques années d'un retour à une situation plus équilibrée), si ce n'est dans le sens de l'appauvrissement des contenus.
La diversité et les derniers développements de la recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus qu'à partir du niveau Master (plutôt même deuxième année de Master).

Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute application aux autres sciences; certains même ont horreur de toute idée d'application, fiers de faire des mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines de recherche en mathématiques sont de près ou de loin susceptibles d'applications, notamment en Physique.

Calcul propositionnel

La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et "non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien exactement, au fait ?) pour former un système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de démontrer toute formule universellement valide). S'ensuit une démonstration de ce fait (théorème de complétude du calcul propositionnel) qui prend un certain nombre de pages.
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.

Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole.
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est Z/2Z.

Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute égalité dans un tel anneau donné par générateurs et relations se démontre par une chaîne d'égalités dont chacune est la simple utilisation d'un axiome.
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par générateurs et relations (donc une théorie du calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est démontrable suivant cet algorithme (et plus généralement si un élément est égal à 1, son égalité à 1 est démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition indémontrable a un contre-exemple).

Mais il y a encore d'autres manières de formuler les formules et les démonstrations qui collent naturellement à la nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des algorithmes plus puissants.
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une formule donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables et de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont capables de faire à toute vitesse.
On peut rétorquer à cela que la complexité de ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent beaucoup les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui s'étendent à plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul formel sur les propositions.

Alors, voici comment implémenter un tel calcul de manière efficace:
Définissons une formule propositionnelle F comme étant un ensemble fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et héréditairement fini (l'union de F, de ses éléments, des éléments de ses éléments,... est fini)
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels ensembles).
Le singleton représente le non, l'ensemble représente le "ou" entre les négations.
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on préfère, non(A et B et C).
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C).
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.

Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications, chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant légèrement l'expression des règles du genre échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence engendrée par ces règles est équivalente à: quelle que soit la succession de simplifications appliquées à partir de chacune jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même formule.
Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre énoncés):
- tiers exclus: {{A}}~A
ce qui donne notamment les simplifications:
{{{A}},B}~{A,B}
{{{A}},A}~{A}
mais aussi avec deux:
{{{A,B}},C}~{A,B,C}
et en général, en notant u le symbole d'union, si A est un ensemble:
{{A}}uB~AuB
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une formule hormis ceux des variables.
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais on peut voir ça comme cas particulier du cas précédent à cause de la construction de V). Ainsi:
{V,A}~{A}

- Tout F est absorbant:
{F,A,B,...}~{F}~V

- Règle de substitution : Tout élément d'un ensemble est substituable à V à l'intérieur de tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus).
Par exemple:
{A,{A,B}}~{A,{V,B}}
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}}
à son tour simplifiable...

Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de substitution que comme règle d'inférence entre formules démontrées, lesquelles n'étaient considérées que comme formant liste ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un système formel complet du calcul propositionnel, j'ai été amené à formuler l'"axiome d'Aristote":
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C).
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation):
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}.
qui rendait enfin le système complet.
Mais je m'aperçois que la règle de substitution démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence de deux formules par la relation d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en tout cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par égalités de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à vérifier).

Histoire de rigoler, ou de faire des cauchemars

Voici:
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable de penser que l'axiome du choix est vrai.
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera l'élément recherché. Bien.
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au hasard, et le tour est joué. C'est d'ailleurs à celà justement qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au hasard par ce procédé, on tombe effectivement dedans.

En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel
qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'un que dans l'autre, soit finalement une chance nulle. Bien.

Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des réels entre 0 et 1.
Choisissons donc un tel bon ordre o sur [0,1], et définissons l'application f de [0,1] dans lui-même défini par:
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre o.

De manière évidente, f est une fonction croissante de [0,1] muni de l'ordre o vers [0,1] muni de l'ordre habituel.
Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la somme sur x des f(x) - (sup f(y) pour y<x) (vérifiez !)
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels x et y au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que x<y pour l'ordre o ?
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des carrés des discontinuités).
Mais si on tire y avant x...

Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.

En fait, la convention communément admise veut que tirer un réel dans chaque partie soit possible conformément à l'axiome du choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de manière uniforme), un nombre réel aléatoire dans [0,1] soit impossible.
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire étant uniquement quelque chose de défini comme approximations successives (tirer les 100 premières décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et non comme quelque chose d'actuellement infini.

Autres:
Le cours de théorie des ensembles de Martial Leroy est provisoirement hébergé ici.
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la théorie des ensembles
Voir aussi un bout de mon cours d'algèbre linéaire qui n'était pas super adapté au niveau des étudiants de 2ème année ici.

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dont :
Relativité restreinte suivant une nouvelle approche
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